測地線メモ - ita’s diary

以前イーガンの『ディアスポラ』に出てきたドーナツ上の測地線の話を検証するため自分で計算したが、変分原理でもっと簡単に出来ると考えて計算したメモ。
多様体上の最短経路を変分原理で求める。 $x \in R^n$ から多様体への写像M(x)があり、多様体上での速度が $R^n$ での速度 $v_\nu = \frac{dx_\nu}{dt}$ の二次形式として $V^2 =|dM(x)/dt|^2=A_{\mu\nu}(x)v_\mu v_\nu$ と書けるとする。実際には $A_{\mu\nu}=\partial_\mu M\cdot \partial_\nu M$ 。たとえば球面だと $\cos^2 \phi \dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2$ 。トーラスだと $(1+r\cos \phi )^2\dot{\theta}^2+r^2\dot{\phi}^2$
時刻０に出発点を出て時刻Tに目標につく場合の経路の長さは
$L=\int_0^T dt V(x(t);v)$
経路 $x_\nu(t)$ を微小量 $\delta x_\nu(t)$ 変化させた時にLの増分 $\delta L$ が $\delta x_\nu(t)$ の一次の範囲で変化しないのが最短経路。Vのある時刻における増分は
$\delta V=\delta \sqrt{A_{\mu\nu}v_\mu v_\nu}=\frac{\delta(A_{\mu\nu}v_\mu v_\nu)}{2\sqrt{A_{\mu\nu}v_\mu v_\nu}}=(A_{\mu\nu}(v_\mu \delta v_\nu+v_\nu \delta v_\mu)+v_a v_b \partial_\nu A_{ab} \delta x_\nu)/2V$
$B_{ab\nu}=\partial_\nu A_{ab}$ と置き、また $A_{\mu\nu}=A_{\nu\mu}$ なので
$\delta V=(2A_{\mu\nu} v_\mu \delta v_\nu+v_a v_b B_{ab\nu} \delta x_\nu)/2V$
これを時間積分し
$\delta L= \int dt (2A_{\mu\nu}v_\mu \delta v_\nu+v_a v_b B_{ab\nu} \delta x_\nu)/2V$
第一項を $\delta v_\nu$ の式から $\delta x_\nu$ の式に変えるために部分積分すると
$\int dt \delta v_\nu(2A_{\mu\nu}v_\mu /2V)=[\delta x_\nu (A_{\mu\nu} v_\mu /V)]_0^T -\int dt \delta x_\nu\frac{d}{dt}(A_{\mu\nu}v_\mu /V)$ 　...(1)
(1)の第一項は両端での座標を固定していれば消える。第二項の被積分関数の $\delta x_\nu$ の係数は
$\frac{d}{dt}(A_{\mu\nu}v_\mu /V)=(V \dot{A}_{\mu\nu}v_\mu +V A_{\mu\nu}\dot{v}_\mu -\dot{V}A_{\mu\nu}v_\mu)/V^2$
$\delta x_\nu$ の係数を整理し、
$\delta L=\int dt \delta x_\nu (-\dot{A}_{\mu\nu}v_\mu -A_{\mu\nu}\dot{v}_\mu+\dot{V}A_{\mu\nu}v_\mu/V + v_a v_b B_{ab\nu}/2)/V$
これがすべての時間とνで０となるのが距離極小つまり測地線の条件。
$(-\dot{A}_{\mu\nu}v_\mu -A_{\mu\nu}\dot{v}_\mu+\dot{V}A_{\mu\nu}v_\mu/V + v_a v_b B_{ab\nu}/2)/V=0$
これに $\dot{A}_{\mu\nu}= B_{\mu\nu \lambda} v_\lambda$ を代入

$A_{\mu\nu}\dot{v}_\mu =\frac{\dot{V}}{V} A_{\mu\nu}v_\mu+v_\mu v_\lambda (B_{\mu\nu \lambda}/2-B_{\mu \lambda \nu})$ 　　...（２）

ここで $\dot{V}= (A_{\mu\nu} \dot{v}_\mu v_\nu +v_\nu v_\mu v_\lambda B_{\mu\nu \lambda}/2)/V$
$\dot{V}$ は同じ経路で加速・減速する自由度に対応しているので、速度一定の解の時は０。すると（２）は
$\LARGE A_{\mu\nu}\dot{v}_\mu =v_\mu v_\lambda (B_{\mu\nu \lambda}/2-B_{\mu \lambda \nu})$ 。　　...（３）
これが最終的な方程式。おお、シンプルだ。実際このとき $\dot{V}=0$ となる。
相対論に出てくる式とも似てるな http://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic
平らな空間でAが単位行列だとBは全部０、このとき速度は変化なし、つまり直線となる。ふむ。
球面だと $A_{\theta\theta}=\cos^2\phi$ , $A_{\phi\phi}=1$ , $B_{\theta\theta\phi}=-\sin(2\theta)$ 、それ以外全部０で、方程式は