測地線メモ

以前イーガンの『ディアスポラ』に出てきたドーナツ上の測地線の話を検証するため自分で計算したが、変分原理でもっと簡単に出来ると考えて計算したメモ。
多様体上の最短経路を変分原理で求める。 x \in R^nから多様体への写像M(x)があり、多様体上での速度がR^nでの速度v_\nu = \frac{dx_\nu}{dt}の二次形式としてV^2 =|dM(x)/dt|^2=A_{\mu\nu}(x)v_\mu v_\nuと書けるとする。実際にはA_{\mu\nu}=\partial_\mu M\cdot \partial_\nu M。たとえば球面だと\cos^2 \phi \dot{\theta}^2+\dot{\phi}^2。トーラスだと(1+r\cos \phi )^2\dot{\theta}^2+r^2\dot{\phi}^2
時刻0に出発点を出て時刻Tに目標につく場合の経路の長さは
L=\int_0^T dt V(x(t);v)
経路x_\nu(t)を微小量\delta x_\nu(t)変化させた時にLの増分\delta L\delta x_\nu(t)の一次の範囲で変化しないのが最短経路。Vのある時刻における増分は
\delta V=\delta \sqrt{A_{\mu\nu}v_\mu v_\nu}=\frac{\delta(A_{\mu\nu}v_\mu v_\nu)}{2\sqrt{A_{\mu\nu}v_\mu v_\nu}}=(A_{\mu\nu}(v_\mu \delta v_\nu+v_\nu \delta v_\mu)+v_a v_b \partial_\nu A_{ab} \delta x_\nu)/2V
B_{ab\nu}=\partial_\nu A_{ab}と置き、またA_{\mu\nu}=A_{\nu\mu}なので
\delta V=(2A_{\mu\nu} v_\mu \delta v_\nu+v_a v_b B_{ab\nu} \delta x_\nu)/2V
これを時間積分
\delta L=  \int dt (2A_{\mu\nu}v_\mu \delta v_\nu+v_a v_b  B_{ab\nu} \delta x_\nu)/2V
第一項を\delta v_\nuの式から\delta x_\nuの式に変えるために部分積分すると
 \int dt \delta v_\nu(2A_{\mu\nu}v_\mu /2V)=[\delta x_\nu (A_{\mu\nu} v_\mu /V)]_0^T -\int dt \delta x_\nu\frac{d}{dt}(A_{\mu\nu}v_\mu /V) ...(1)
(1)の第一項は両端での座標を固定していれば消える。第二項の被積分関数\delta x_\nuの係数は
\frac{d}{dt}(A_{\mu\nu}v_\mu /V)=(V \dot{A}_{\mu\nu}v_\mu +V A_{\mu\nu}\dot{v}_\mu -\dot{V}A_{\mu\nu}v_\mu)/V^2
\delta x_\nuの係数を整理し、
\delta L=\int dt \delta x_\nu (-\dot{A}_{\mu\nu}v_\mu -A_{\mu\nu}\dot{v}_\mu+\dot{V}A_{\mu\nu}v_\mu/V + v_a v_b B_{ab\nu}/2)/V
これがすべての時間とνで0となるのが距離極小つまり測地線の条件。
(-\dot{A}_{\mu\nu}v_\mu -A_{\mu\nu}\dot{v}_\mu+\dot{V}A_{\mu\nu}v_\mu/V + v_a v_b B_{ab\nu}/2)/V=0
これに\dot{A}_{\mu\nu}= B_{\mu\nu \lambda} v_\lambdaを代入

A_{\mu\nu}\dot{v}_\mu =\frac{\dot{V}}{V} A_{\mu\nu}v_\mu+v_\mu v_\lambda (B_{\mu\nu \lambda}/2-B_{\mu \lambda \nu})   ...(2)

ここで\dot{V}= (A_{\mu\nu} \dot{v}_\mu v_\nu +v_\nu v_\mu v_\lambda B_{\mu\nu \lambda}/2)/V
\dot{V}は同じ経路で加速・減速する自由度に対応しているので、速度一定の解の時は0。すると(2)は
\LARGE A_{\mu\nu}\dot{v}_\mu =v_\mu v_\lambda (B_{\mu\nu \lambda}/2-B_{\mu \lambda \nu})。   ...(3)
これが最終的な方程式。おお、シンプルだ。実際このとき\dot{V}=0となる。
相対論に出てくる式とも似てるな http://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic
平らな空間でAが単位行列だとBは全部0、このとき速度は変化なし、つまり直線となる。ふむ。
球面だとA_{\theta\theta}=\cos^2\phi,A_{\phi\phi}=1,B_{\theta\theta\phi}=-\sin(2\theta)、それ以外全部0で、方程式は

  • \dot{\dot{\theta}}=\dot{\theta}\dot{\phi}2\tan\phi
  • \dot{\dot{\phi}}=-\dot{\theta}^2\sin2\phi

うほ、どなたかうち経由でアマゾンで1万円の解析力学の本買われた方が。ISBN:0198508026