ペンローズ図 - ita’s diary

質量m のシュワルツシルトのブラックホールの計量は $ds^2 = -dt^2 (1-2m/r) + \frac{dr^2}{1-2m/r}$
つまり中心から距離rの場所では時間が $\frac{1}{\sqrt{|1-2m/r|}}$ 倍に伸びて空間が ${\sqrt{|1-2m/r|}$ 倍に縮む。光の進路は ds=0 を解くと $dt = \pm \frac{dr}{|1-2m/r|}$ 。両辺を積分して $t+const = \pm(|r-2m|+2m \log |r-2m|)$
$\tan(X\pm Y)=t \pm(|r-2m|+2m \log |r-2m|)$ とすれば光の進路は $X\pm Y=const$ となりXY面で直線。更に有限の四角に全部の時空を入れられる。
$r>2m$ だけで四角全部使っちゃうんで、 $r<2m$ の内側は別に描いて隣に貼り付ける。

黒線は t=0, R=4M をスタートして自由落下した軌跡。軌跡上の点は落ちる人の主観時間で等分した間隔。
左上45度と右上45度の線の間を上に向かってしか進めない。R=2M を越えてブラックホールの中に入ると二度と出られない。中では Rが減る方向にしか進めない。そのうちR=0 に行って潰れておしまい。