z^z^z^z^... (old ver) - ita’s diary

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$Z_{n+1}=\exp( (a+ib)Z_n)$
という漸化式を考察。exp(a+ib)=z。固定点があるとしてZ*とおくと、固定点からのズレは漸化式からズレの一次の近似で　(a+ib)Z* 倍に。|(a+ib)Z*|＜１が収束に必要。

以下間違い

ｎ回目の値を Rn exp (iθn) と大きさと偏角に分けます。ｚ乗していくときの漸化式は
$(e^{\log R_n}e^{i \theta_n})^{(a+ib)}=e^{a \log R_n -b\theta_n}e^{i(a \theta_n+b\log R_n)$ より
$\left(\begin{array}{c}\log R_{n+1}\\ \theta_{n+1}\end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc}a&-b\\b&a\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\log R_{n}\\ \theta_{n}\end{array}\right)$

以下も間違い

$(e^{\log R_0}e^{i \theta_0})^{\exp(\log R_n + i\theta_n)}=e^{\log R_0 \log R_n -\theta_0 \theta_n}e^{i(\log R_0 \theta_n+\theta_0 \log R_n)$ より
$\left(\begin{array}{c}\log R_{n+1}\\ \theta_{n+1}\end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc}\log R_0&-\theta_0 \\ \theta_0& \log R_0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\log R_{n}\\ \theta_{n}\end{array}\right)$