血液型の割合というのは世代とともに変動するのでしょうか、あるいは一定の値に収束するものでしょうか。
例えば遺伝子AAの人が生まれるのは、両親ともAAなら100%、AAとOAなら50%、ABとOAなら25%、などとなり、それぞれの割合をP_AAなどとおくと、子供の世代のAAの割合は以下のようになります。(世代を飛び越すような交配はないと仮定します)
P_AA(next)= P_AA*P_AA + P_AA*P_OA*0.5 + P_OA*PAA*0.5 + P_OA*P_OA*0.25 + P_AA*P_AB*0.5+P_AB*P_AA*0.5 + P_AB*P_AB*0.25
ここでOAとAOは区別できないとして、まとめてP_OAとします。交配に関しては、AAとOAの交配の場合はどっちが父親でどっちが母親かの2通りがあるので二回でてきています。
次世代の割合は、今の世代の割合の二次式で表されます。次世代でも割合が変わらないような解はどのくらいあるのでしょうか。変数はAA,BB,OO,AB,OA,OBの6つ、ただし合計で1という条件があるので実際は5つ。全部が変わらないという条件も6つだけど5つが変わらなければ残りも変わらないので、こちらも条件は5つ。
変数と条件の数が同じなので、全て満足する解は普通に考えると有限個になりそうです。ということは、たとえば血液型の割合は数種類の分布のどれかになるということでしょうか。実際に見ていきます。
たとえば次世代がABになる確率をよく考えると、一方の親からA遺伝子をもらう確率PAと、別の親からB遺伝子をもらう確率PBの積でいい、ということが分かります。どっちから何をもらうか、というのは独立な事象だからです。ただし、AAの場合はPA*PAですが、ABの場合はどっちの親からどっちをもらうか、2つの場合があるので2PA*PBとなります。まとめると、
Paa(next) = Pa*Pa
Pab(next) = 2Pa*Pb (a≠bの場合)
親から遺伝子aをもらう確率Paは具体的に書くとこうなります
Pa= Paa + Σ{b≠a} Pab/2
例えば血液型ABOの場合、
PA= PAA + PAB/2 + POA/2
実際、PA*PAを計算すると、上で計算したP_AA(next)に等しくなります。
ここで、添字が1つのほうの確率PAなどが次世代でどうなるか見ます。
Pa(next)= Paa(next) + Σ{b≠a} Pab(next)/2
= Pa*Pa + Σ{b≠a} 2Pa*Pb/2
= Pa *(Pa+Σ{b≠a}Pb)
= Pa *(Σb Pb)
ここで
Σb Pb = Σb Pbb+Σ{c≠b} Pbc/2
c≠bPbcとPcbが重複して出て来るのでPbcの1/2係数は消えて、
Σ{c,b} Pbcとなり、これは全部の割合の和なので1。つまり
Pa(next)= Pa
となり次世代で変化しません。Paはa遺伝子の数と考えられるので(AAの場合は二倍にカウント)まあこれが変化しないのは当然なのかもしれません。
ということで例えば血液型の場合に不変となる量はPA,PB,POの3つ。これらは合計が1になるので、実際には2つの不変量があって、これらは互いに交配しない集団があった場合、それぞれ別の値をとることになります。つまり定常状態は有限個でなく、2つのパラメータで表される二次元空間にある、というのが結論です。また定常状態には一世代で収束し、ゆっくり漸近するわけではないというのも面白いです。
一般的に遺伝子がN種類ある場合はN-1次元の不変空間があることになります。
血液検査で判明するのは遺伝形でなくA型,B型などの形質になります。これらの割合をQ(A)などとおくと、
Q(A)=PAA+POA = PA*(PA+2PO)
Q(B)=PBB+POB = PB*(PB+2PO)
Q(O)=POO = PO*PO
Q(AB)=PAB =2*PA*PB
PA=s, PB=t, PO=1-t-s とパラメトライズすると、A,B,Oの割合を三次元でプロットした場合
Q(A)= s*(s+2(1-t-s))
Q(B)= t*(t+2(1-t-s))
Q(O)=(1-t-s)(1-t-s)
という曲面上にデータがのるはずです。
このページにある世界各国のデータをプロットすると
https://en.wikipedia.org/wiki/Blood_type_distribution_by_country
実際にこの曲面に乗っていることが分かります。１つだけ外れてるデータがありますが。
追記：この平衡状態は Hardy-Weinberg equilibrium と呼ばれるそうです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
