1-form

Gauge Fields, Knots, and Gravity (Series on Knots and Everything)

グレッグ・イーガン "Diaspora" ISBN:0752809253 のネタ本の一つである ISBN:9810220340 を寝る前にチビチビ読んでいる。うにょうにょした物体の表面でベクトル場を定義しましょう、という話。物理屋だけど相対論はあまり使わない分野なんでジーミューニューgoogle:"g-mu-nu" feynmanとか勉強してない。
メモ：記号や用語は勝手に作った。

• 多様体M: ダリっぽい、うにょうにょ世界
• M上の関数 f: うにょ世界の各点に数字を振るもの。うにょ関数。
• うにょ関数f × うにょ関数g は別のうにょ関数。M の各点で両方の値をかけたもの。
• ベクトル場v :うにょ関数f を別のうにょ関数 v[f] に変換する。うにょ変換。線形。v[f+g]=v[f]+v[g]
• さらに微分っぽい規則もみたす： v[f×g] = g ×v[f] + f ×v[g]
• (うにょ関数g●うにょ変換v) は別のうにょ変換になる。 (うにょ関数g ●うにょ変換v)で、うにょ関数f を変換：(g●v)[f] = うにょ関数g × v[うにょ関数f]
• うにょ世界M から 別の多様体 へにょ世界 N へ各点を移す転送機 Φ。
• Φ(うにょ関数 f) はへにょ関数。へにょ世界の点での値は、うにょ世界での値をΦで転送。Φ(f) (へにょ点) ＝ f(Φでへにょ点に飛ぶうにょ点)。Φ(f+g)=Φ(f)+Φ(g)で線形。Φ(f×g)= Φ(f)×Φ(g)。
• Φ(うにょ変換 v) はへにょ変換。へにょ関数をへにょ関数に変換。Φ(v) でへにょ関数 F を変換＝ Φの逆変換で F をうにょ関数 f にして、うにょ変換 v して、Φでへにょ世界にもどす。Φ(v)[F] = Φ(v [逆Φ(F)])
• Φ(v)[F×G] = Φ( v[逆Φ (F×G)])= Φ(v[逆Φ(F)×逆Φ(G)]) = Φ(逆Φ(F)× v[逆Φ(G)]+ 逆Φ(G)× v[逆Φ(F)]) = Φ(逆Φ(F))×Φ(v[逆Φ(G)]) + Φ(逆Φ(G))×Φ(v[逆Φ(F)]) = F × Φ(v)[G] + G × Φ(v)[F] なのでΦ[v] はへにょ変換の条件を満たす
• 1-form df:うにょ変換 v から、うにょ関数 f を作る。線形。df(v1+v2) = df(v1) + df(v2)
• さらに関数をかける操作にも線形： df (うにょ関数g ● うにょ変換v) ＝ うにょ関数 g × うにょ関数 df(うにょ変換 v)
• 実は v に対して v[f] を返す df(v)=v[f] のも 1-form で上の条件を満たす。 実関数 f(x) について v[f] = df/dx だとした場合、 d(sin x) = cos(x) dx のような書き方は1-form を使い厳密に意味が与えられる。
• 上の例で両辺を v = h(x) d/dx に作用させると h(x) d/dx sin x = cos(x) h(x) d/dx x