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忙しいけど逃避で計算した結果をかきます。
montreal life 2003/11/01 (Sat) より、光の運動量のこと。

相対論は専門外だけど、最近ファインマンの "Six not-so-easy pieces" ISBN:0201328429 【アマゾン】 を読んでいろいろ目から鱗だったんで印象が新しいうちに計算してみました。

「光が進行方向に何か量を持っている」と仮定。方向以外の特徴としては周波数νくらいしかないんで大きさはνの関数とする。相対論では空間と時間が混ざるんで空間3成分以外に時間成分も必要。簡単のため進行方向は x 方向とし、「なにか」は (p0(ν),p1(ν),0,0) とνの関数になってると仮定。かつこれが4-vector であれ、と要請してみる。これをx方向に速度v で移動する系から見た場合を考える。移動する系で見た座標を x',t' とすると

x = A x' + B t'

t = A t' + B x'

A=1/√(1-v^2)

B=v/√(1-v^2)

ただし c=1 とした。
A^2-B^2 =(A+B)(A-B)=1 となる(後で使う)。移動する系から見るとνがドップラーシフトで変化するので(p0(ν'),p1(ν'),0,0) となる。ただしν'=ν(1-v)/√(1-v^2)=(A-B)ν。これがローレンツ変換したものと等しくないといけない

p0(ν)=A p0(ν') +B p1(ν')

p1(ν)=A p1(ν') +B p0(ν')

p0(X)+p1(X)=f(X) とおくと上の二式を足して f(X)=(A+B)f( (A-B)X)
つまり f(X)=f(a X)/a から、f(X)= X*定数、が分かる。同様に g(X)=p0(X)-p1(X)とおくと g(X)=定数/X となる。最終的に

p0(ν)=a ν + b/ν

p1(ν)=a ν - b/ν

a,b は任意の定数

てことで νに比例する項がでてきたけど、反比例する項も出てきてしまった。これはなんなのだろう。
この要請だけからだと a=b=0 もアリなんで、質量も運動量も0って解もでてくる。 Six not so... では主に運動量保存を使って鮮やかにいろいろ説明してあったけど、光はあったかな。