wikipedia:サンクトペテルブルクのパラドックス
http://q.hatena.ne.jp/1279466527
確率0.8で勝って配当1.5倍、負ければ0というゲームがある。N回繰り返す場合、どのように賭ければいいか？
毎回全額ベットすると最終的に所持金が残る確率は0.8^Nで指数的に減衰する。しかし勝った時の配当が1.5^Nとそれ以上に指数的に増大するので、平均リターン=0.8^N * 1.5^N = 1.2^N となり発散していく。期待値が無限なのに感覚的には賭けたくないゲームというパラドクス。
全額でなく、毎回一定割合で所持金*Cを賭けるとする。勝つと所持金が1+0.5C倍、負けると1-C倍になる。n勝N-n負となる確率は二項分布 NCn p^n (1-p)^(N-n) で、勝敗の順番に関係無く最終所持金は (1+0.5C)^n (1-C)^(N-n) 倍となる。平均リターンは二項定理で計算でき (1+0.5C)^N となる。明らかにC=1のとき最大となる。
一方でリスクとして元本割れする確率を考える。これは単純な式にはならないけどプログラム書けば計算できる。こんな感じで http://d.hatena.ne.jp/ita/00010419/p1
100の場合、Cをいろいろ変えてリスクに対しリターンをプロットすると以下のようになる。
現実的には C=0.25 あたりで元本割れ確率1%、平均リターン100倍あたりが理想かも。
