くらし安心ラプラシアン

理系ネタ J

前野さんの日記にてラプラシアンの極座標表示の計算法が。
S[f] =\int\int\int (\nabla f)^2 dx dy dz のときに \delta S/ \delta f = -\Delta f になるので、左辺を極座標で表す、でいいのかな。とにもかくにも、二階微分を部分積分を使って一回微分の二乗で表すと。
追記：前野さんのコメントを読んで少し計算してみました。
まずいきなり(\nabla f)^2 = f_r^2 + f_\theta^2 / r^2 \sin^2 \phi + f_\phi^2 /r^2 と計算してしまう。それぞれ直交してるから長さ調節だけなので。
S=\int\int\int (f_r^2 + f_\theta^2 / r^2 \sin ^2\phi + f_\phi^2/r^2) r^2 \sin \phi dr d\theta d\phi。
\delta S = \int \int \int \delta f (-\Delta f) r^2 \sin \phi dr d\theta d\phi

  • \delta S = 2\int d\theta\int \sin \phi d\phi\int r^2 f_r \delta f_r dr
  • + 2\int dr \int d\phi /\sin\phi \int f_\theta \delta f_\theta d\theta
  • + 2\int dr \int d\theta \int f_\phi \delta f_\phi \sin\phi d\phi
  • \int r^2 f_r \delta f_r dr = -\int (2r f_r +r^2 f_{rr}) \delta f dr
  • \int f_\theta \delta f_\theta d\theta = -\int f_{\theta\theta} \delta f d\theta
  • \int \sin\phi f_\phi \delta f_\phi d\phi=-\int (\cos\phi f_\phi + \sin\phi f_{\phi \phi}) \delta f d\phi

なんか MimeTeX の表示がいまいちなんで、あとは省略